を等分したとき，
各分割区間に含まれている点の個数 
で表される時系列で, 
が互いに独立であれば
（非定常）Poisson過程であるが，一般には 独立ではない。
もし細分化された区間の長さ 
が小さければ は
ほとんどの kでは0で，たまに点を含む区間で
1の値をとる時系列（0-1系列）と考えられる。
実際には点過程データは点を含む（つまり 
となる）時刻
のみの系列 
で表記される。このとき，ある時刻 
の
分割区間が点を含むかどうかは，
となる条件付き確率 
によって決まる。
この条件付き確率の極限的表現として，条件付き強度関数 
が
次のように定義される。
ここで 
は時刻 t以前に発生した点事象の履歴 
であり，
は に対して高位の無限小，すなわち
を満たす量を示す。すなわち，簡単に言えば，無視できる程度に小さい量のことである。
強度 のとる値の大小につれて，微小区間 
で
点事象が発生する確率が変化する。
この関数は時刻 t及びそれまでの履歴 の非負値関数である。
この関数は他のデータなどの情報に依存することも考えられる。
条件付き強度関数が与えられれば，これに対応する点過程が完全に決まる。
例えば が履歴 に無関係で時刻 tだけの関数である場合は
非定常Poisson過程であり，
時刻 tにも無関係な定数のときは定常Poisson過程である。そして，
のように 
（ 
は時刻 tより前にあって最後に発生した点の時刻）
だけの関数であれば，これは更新過程であることが証明できる。
関数 
は2.1.2で述べた危険率に他ならない。
は予測問題に直接に関係している。すなわち現時刻を tとしたとき，
極めて近い将来 
に点事象が発生する確率は，
定義式(2.6)によって近似的に 
であり，
簡単な確率計算によれば[14]，xだけ先の未来まで点事象が発生しない確率は，
となる。別の見方をすると，xだけ先の未来までに点事象が1回以上発生する確率は，
である。
以後，我々は更新過程を用いることとする。すなわち，条件付き強度関数 
が
式(2.7)の形をしている場合を考え，
かつ時刻の原点を にとる。
このとき，式(2.8)に関連して，
なる量を考える。これは，式(2.8)から類推すると， 次の地震（故障）が前回の地震（故障）発生時点から tまでは起こらない （逆に言えば，t以降に起こる）場合の確率を表している。 一般にこれを信頼度関数と呼んでいる。 なお，確率密度関数 f(t)は， 式(2.10)の微分によって
と表すことができる。
この信頼度関数を用いて，式(2.9)と同様に，
前回発生年からの経過時間 Tまで地震が発生していないという条件の下で，
T以後の時間 
以内に
地震が発生する確率 
は次のように求められる。
以後の議論で，各モデルの危険率・信頼度関数・分布の平均（以下， 
と記す）
などの特性値は重要な役割を果たす。
本報告で扱うモデルのこれらの特性値を表2.1にまとめておく。
表 2.1: 本報告で扱うモデルの危険率・信頼度関数・分布の平均
式(2.1)〜(2.5)から，
式(2.12)及び表2.1を用いることによって，
最新の地震発生から地震が発生せずに T年経過した時点で，
その後の 年間に地震が発生する確率 は，
以下の式(2.13)〜(2.17)のように求められる。
式(2.18)の 
は今後確率計算の過程で頻繁に出現するが，
この関数値は，正規分布表から，あるいは数値計算
で求めることができる。
